Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数y=f（x）的值域．

Answer

（Ⅰ） 利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的 解析式为2sin（2x+ ）+2，求出周期，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解出x的范围，即得单调递增区间．
（Ⅱ）根据x的范围，求出2x+ 的范围，进而求得sin（2x+ ） 的范围，从而得到函数y=f（x）的值域．
【解析】
（Ⅰ）∵=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+ ）+2．
∴最小正周期T==π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，
可得kπ-≤x≤kπ+，
∴单调递增区间为 （kπ-，kπ+ ），k∈z．
（Ⅱ）∵，∴，∴；
∴，∴，
∴函数y=f（x）的值域为[3，4]．