Question

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余数．

Answer

（1）根据二项式定理，由f（x）=（2x-3）n展开式的二项式系数和为512，可得n=9；将n=9代入（2x-3）n中，变形可得[2（x-1）-1]9，则a2为其展开式中（x-1）2的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在（2x-3）9=a+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+an（x-1）n中，令x=1，可得a的值，令x=2，可得a+a1+a2+a3+…+an的值，两者相减，可得答案；
（3）根据题意，可得f（20）-20=379-20，变形可得f（20）-20=（36+1）9-20，由二项式定理展开可得f（20）-20=C9369+C91368+C92367+…+C9836-19，进而由整出整除的性质分析可得答案．
【解析】
（1）根据题意，f（x）=（2x-3）n展开式的二项式系数和为512，
则2n=512，解可得n=9；
（2x-3）9=[2（x-1）-1]9，则a2=C9722（-1）7=-144，
（2）在（2x-3）9=a+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+an（x-1）n中，
令x=1，可得a=（2×1-3）9=-1，
令x=2，可得a+a1+a2+a3+…+an=（2×2-3）9=1，
则a1+a2+a3+…+an=a+a1+a2+a3+…+an-a=1-（-1）=2；
（3）f（20）-20=379-20=（36+1）9-20=C9369+C91368+C92367+…+C9836+C99-20
=C9369+C91368+C92367+…+C9836-19；
因为（C9369+C91368+C92367+…+C9836）能被6整除，而-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余数为5；
则f（20）-20除以6的余数为5．