Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点的距离比点P到x轴的距离大．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且，求k的值．
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C 的切线方程．

Answer

（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知．由y≥0，|PN|=y，知，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2-2kx-2=0，所以x1+x2=2k，x1x2=-2，由此能求出k的值．
（3）因为Q（1，y）是曲线C上一点，所以x2=2y，，所以切点为，由求导得y'=x，由此能求出以Q为切点的曲线C 的切线方程．
【解析】
（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，
由题意可知，
而y≥0，∴|PN|=y，
∴，
化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得x2-2kx-2=0，
∴x1+x2=2k，
x1x2=-2
∴k4+3k2-4=0而k2≥0，
∴k2=1，
∴k=±1．…（8分）
（3）因为Q（1，y）是曲线C上一点，
∴x2=2y，
∴，
∴切点为，
由求导得y'=x，
∴当x=1时k=1，
则直线方程为，
即2x-2y-1=0是所求切线方程．…（14分）