Question

已知正数列{a_n}中的前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n-2（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

Answer

（1）由2Sn=an2+an-2（n∈N*），得：a1=2，a2=3，a3=4，又2Sn+1=an+12+an+1-2，故an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．由此能求出{an}的通项公式．
（2）由bn=（n+1）•2n，其前n项和Tn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n，由错位相减法能求出Tn．
（3）由an=n+1，知cn=4n+（-1）n-1λ•2n+1，要使cn+1＞cn恒成立，则cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ•2n+2-（-1）n-1λ•2n+1＞0恒成立，故（-1）n-1λ＜2n-1恒成立． 由此能得到存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn．
【解析】
（1）由已知，2Sn=an2+an-2（n∈N*）①
得：a1=2，a2=3，a3=4，…（2分）
又2Sn+1=an+12+an+1-2②
由②-①得； （an+1-an-1）（an+1+an）=0，（an＞0）
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1． …（4分）
（2）由（Ⅰ）知bn=（n+1）•2n它的前n项和为Tn，
Tn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n ①
2Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1 ②
①-②：-Tn=2•21+22+23+24+…+2n-（n+1）•2n+1
=
=-n•2n+1
∴Tn=n•2n+1…（8分）…（6分）
（3）∵an=n+1，∴cn=4n+（-1）n-1λ•2n+1，
要使cn+1＞cn恒成立，
∴cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ•2n+2-（-1）n-1λ•2n+1＞0恒成立
∴3•4n-3λ•（-1）n-12n+1＞0恒成立，
∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．               …（9分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立
当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，
∴λ＜1．…（11分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立
当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．…（13分）
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，
都有cn+1＞cn．…（14分）