Question

函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象如图所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并给予证明；
（2）求函数f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此时x的值．

Answer

（1）由已知中函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，△MNP中，∠MNP=30°，MP=2我们易得MN=4，利用正弦定理求了∠MPN的大小，即可判断△MNP的形状．
（2）由（1）中结论，我们易同M点及P点的坐标，代入分别计算出函数的最值，周期，进而求出A，ω，φ的值，即可得到函数的解析式，进而求出f（x）最大值及此时x的值．
【解析】
由函数的对称性知：MN=2MO=2MP，∵MP=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，，∴
解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP为直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP为等边三角形，…（7分）
故…（8分）
∴，∵ω＞0，∴∴…（10分）
f（x）最大值为，此时…（13分）