Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=．
（Ⅰ）求f（）和f（）+f（）（n∈N^*）的值；
（Ⅱ）若数列  满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求列数{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足a_nb_n=，S_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1，如果不等式2kS_n＜b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）令x=，能求出f（）．令，能求出f（）+f（）（n∈N*）的值．
（Ⅱ）由，知，由，得2a=（n+1）×，由此能求出{an}的通项公式．
（Ⅲ）由，anbn=，知，=，故Sn=．由2kSn＜bn，知．由作商法知{}单调递减，由，知k＜0．
【解析】
（Ⅰ）令x=，则，
∴．
令，则，
即，
（Ⅱ）∵，①
∴，②
由（Ⅰ），知，
∴①+②，得2an=（n+1）×，
∴．
（Ⅲ）∵，anbn=，
∴，=，
∴Sn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1
=+…+
=（）+（）+（）+…+（）
=
=．
∵2kSn＜bn，
∴，
解得．
∵
=
=＞1．
∴{}单调递减数列，
∵====0，
∴k＜0．