Question

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）直接由=4得=4，求出第二项以及公差；即可求出其通项公式以及Sn；
（Ⅱ）直接利用上面的结论求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由=4得=4，
所以a2=3a1=3且d=a2-a1=2，
所以an=a1+（n-1）d=2n-1，
=
（Ⅱ）由bn=an•2n-1，得bn=（2n-1）•2n-1．
所以Tn=1+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1       ①
2Tn=2+3•22+5•23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n     ②
①-②得：-Tn=1+2•2+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）•2n
=2（1+2+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n-1
=2×-（2n-1）•2n-1
=2n•（3-2n）-3．
∴Tn=（2n-3）•2n+3．