Question

（1）已知实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是；
（2）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，问是A=B的什么条件？请给出说明过程；
（3）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁＞0，a₁b₁c₁≠0}，B=x|a₂x²+b₂x+c₂＞0，a₂b₂c₂≠0}，，问是A=B的什么条件？请给出说明过程．

Answer

（1）分别化简A和B两个集合，找出A=B 的等价条件，即得要证结论．
（2））“”是“A=B”的充分不必要条件，利用比例式的性质证明充分性成立，通过举反例可得必要性
不成立．
（3）通过给变量取特殊值，举反例可得充分性和必要性都不成立，从而得到“”是“A=B”的既不充分
也不必要条件．
【解析】
（1）因为 ，，故，
故命题成立．…..（4分）
（2）“”是“A=B”的充分不必要条件．        …..（6分）
证明：充分性：
若x∈A，即x是方程a1x2+b1x+c1=0的解，则a1x2+b1x+c1=0，
而非零实数a1，b1，c1和a2，b2，c2满足，
设，则可得k（a2x2+b2x+c2）=0，
所以a2x2+b2x+c2=0，即x是方程a2x2+b2x+c2=0的解，即x∈B，
于是A⊆B．同理可证B⊆A，所以A=B．                 …..（10分）
必要性不成立，例如：当A=B=ϕ 时，不能推出成立．…..（11分）
（3）如果系数a1，b1，c1和a2，b2，c2都是非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别是A和B，
则“”是“A=B”的既不充分也不必要条件．       
如  a1 =1，b1=2，c1=-3，a2=-2，b2，=-4，c2=6 时，
A={x|a1x2+b1x+c1＞0，a1b1c1≠0}={x|x2+2x-3＞0}={x|x＜-3，或 x＞1 }，
B=x|a2x2+b2x+c2＞0，a2b2c2≠0}={x|-2x2-4x+6＞0}={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}，
显然，A≠B．故成分性不成立．  …..（14分）
当A=B 时，a1 =1，b1=2，c1=3，a2=1，b2，=-4，c2=6 时，
A={x|x2+2x+3＞0}={x|x∈R}=R，B=x|x2 -4x+6＞0}={x|x∈R}=R，
显然不满足，故必要性也不成立． …..（16分）