Question

已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当x＜0时，一定有（ ）
A．f（x）＜-1
B．-1＜f（x）＜0
C．f（x）＞1
D．0＜f（x）＜1

Answer

根据f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考虑取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=，再结合条件
x＞0时，有0＜f（x）＜1，经过变形化简可得x＜0时，0＜f（x）＜1成立．
【解析】
对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为当x＞0时，f（x）＞1，故f（1）＞1＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=，同理得f（-x）=，
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即＞1
变形得0＜f（x）＜1；
故选D．