Question

某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer

（I）我们分别将“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”记为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）由已知中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．我们要得ξ的可能取值为，2，，3，分别计算出ξ取得各值时的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ的值．
【解析】
（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
则事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件
则P（E）=1-P（）=1-P（）•P（）•P（）=1-=
（II）ξ的可能取值为，2，，3
∵P（ξ=）=P（）=，
P（ξ=2）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=
P（ξ=）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
∴ξ的分布列为：

∴E（ξ）==