Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=______；
（2）当x=______时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

Answer

（1）由已知中在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6由勾股定理，可以求出AB的长；
（2）由已知中AP=x，我们可以分别求出MC，PN，MP，CN的长，进而得到矩形PMCN的周长的表达式，结合已知中矩形PMCN的周长是14，构造方程，解方程后即可得到对应x有值．
（3）分别求出△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积的表达式，分别求出使S△PAM=S△PBN的x值和使S△PAM=SPMCN的x值，判断两者是否相等，如果相等则存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等，否则，得到相反的结论．
【解析】
（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
∴AB==10
（2）若AP=x，则MC=PN=，MP=CN=
则矩形PMCN的周长为16-
又∵矩形PMCN的周长是14
∴x=5
（3）∵AP=x，
∴△PAM的面积S△PAM=x2，
△PBN的面积S△PBN=（10-x）2，
矩形PMCN的面积SPMCN=x（10-x）
若S△PAM=S△PBN，则x2=（10-x）2，解得，x=5；
若S△PAM=SPMCN，则x2=2x（10-x），即x=，
故不存在x的值，使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等