Question

已知f（x）=x³-ax²-4x（a为常数），若函数f（x）在x=2处取得一个极值，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若经过点A（2，c），（c≠-8）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数c的取值范围．

Answer

（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）先根据导数运算对函数进行求导，再由切线斜率的值等于该点导函数的值，设切点是（x，x3-2x2-4x），写出切线方程，把点A（2，c）代入切线方程得到2x3-8x2+8x+8+c=0有三个不同的实根，最后结合导数研究函数g（x）=2x3-8x2+8x+8+c，的单调性邓可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-2ax-4∴f'（2）=12-4a-4=0∴a=2∴f'（x）=3x2-4x-4由f'（x）＞0得x＞2或x＜-∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-），（2，+∞），f（x）的单调递减区间是（-，2）
（2）f（x）=x3-2x2-4x
设切点是（x，x3-2x2-4x），则f'（x）=3x2-4x-4∴切线方程为y-（x3-2x2-4x）=（3x2-4x-4）（x-x）
把点A（2，c）代入上式得2x3-8x2+8x+8+c=0∵过点A可作y=f（x）的三条切线∴2x3-8x2+8x+8+c=0有三个不同的实根
设g（x）=2x3-8x2+8x+8+c，则g'（x）=6x2-16x+8，令g'（x）=0得x=或x=2
∴g（x）在（-∞，，2）上单调递减
由题意 ，解得-＜c＜-8