Question

已知函数f（x）=+alnx，且x=3是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-m，试就实数m的不同取值，讨论函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数．（参考数据：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer

（I）根据f′（x）=--1+，及x=3是函数f（x）的一个极值点得a=4．
（II）有函数求导得到导函数，在令导函数大于零解出的x的范围即为函数的单调区间；
（III）由题意先求出函数f（x）的解析式，再利用令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，结合图象即得．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=--1+，
由x=3是函数f（x）的一个极值点得：
f′（3）=--1-=0⇒a=4．
（II）由（I）知：f′（x）=--1+，根据f′（x）＞0得：1＜x＜3；
由f′（x）＜0及x＞0得：0＜x＜1；或x＞3；
于是，（0，1）为其单调递减区间；
（1，3）为其单调递增区间；（ 3，+∝）为其单调递减区间；
（III）令g（x）=f（x）-m=0，得f（x）=m，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是函数y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点个数，由下表结合图象得
x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，5） 5
F′（x） - - -  
F（x） 减 极小值2 增 极大值4ln3-2 减 4ln5-22/5

当m＜2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为0；
当m=2或m＞4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为1；
当2＜m＜4ln5-或m=4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为2；
当4ln5-≤m＜4ln3-2时，函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是为3；