Question

（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
（1）设a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求证：
（2）设a_i∈R₊（i=1，2，…n），求证：．

Answer

（1）欲证不等式的左式=
=结合柯西不等式即可得到证明．
（2）先由排序不等式，得：a12+a22+…+an2≥a1a2+a2a3+…+ana1，a12+a22+…+an2≥a1a3+a2a4+…+ana2两式相加后结合柯西不等式即可得到证明．
证明：（1）左式=
=
=
（2）由排序不等式，得：a12+a22+…+an2≥a1a2+a2a3+…+ana1，a12+a22+…+an2≥a1a3+a2a4+…+ana2
两式相加：2（a12+a22+…+an2）≥a1（a2+a3）+a2（a3+a4）…+an（a1+a2），从而

≥（a1+a2+…an）2，即证．