Question

已知函数
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．

Answer

（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而得到证明．
【解析】
（1）∵函数
∴，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（-1，0）
（2），
当x=1时，y'=得切线的斜率为，所以k=；
所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-ln2+=×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0．
故切线方程为 x-4y+4ln2-3=0
（3）所证不等式等价为
而，设t=x+1，则，
由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
由此F（t）min=F（1）=0，
所以F（t）≥F（1）=0即，
记代入得：
得证．