Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5且S_n-1=an（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₁，a₃，a₄的值，并猜想a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer

（1）由题意可得 ，又a1=2，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值．
（2）猜想 ，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解析】
（1）由题意：Sn-1=an（n≥2，n∈N*），
得 a2=S1=a1=5；a3=S2=a1+a2=10；a4=S3=a1+a2+a3=20；
猜想：an=5×2n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 ak=5×2k-2，
则当n=k+1时，a k+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+=5-5•2k-1=5•2k-1，
故命题也成立．                     
综上，对一切n≥2，n∈N都有an=5×2n-2成立．