Question

已知函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若m＜2，且函数f（x）的极大值为10e^-2，求m的值．

Answer

（1）先求函数的导函数，然后研究导函数的符号，从而确定函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，根据m的取值，确定函数的极大值，即可得到答案．
【解析】
（1）若m=1，则f（x）=（x2+x+1）ex；
f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x+1）ex=（x2+3x+2）ex；
当x＜-2或x＞-1时，f'（x）＞0；当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0；
∴f（x）的递增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）；递减区间为（-2，-1）
（2）f'（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，
∵m＜2．∴-m＞-2
∴函数的单调递增区间为（-∞，-2），（-m，+∞），递减区间为（-2，-m）
则在x=-2时，f（x）取得极大值，
∴f（-2）=10e-2
∴（4-2m+m）e-2=10e-2
∴m=-6