Question

设a＞0，b＞0，a+b=1．
（1）试比较a²+b²与ab的大小；
（2）证明：ab+≥．

Answer

（1）用作差法比较两个数的大小，先做差，再对所得的差配方得出差的符号，即可判断出两式的大小；
（2）先将不等式转化为ab+≥4⇔4a2b2-17ab+4≥0然后再整理成两个因子的乘积即ab+≥4⇔（4ab-1）（ ab-4）≥0，由此判断知需要先研究ab的取值范围，再判断（4ab-1）（ ab-4）≥0成立，即可证明不等式
【解析】
（1）∵a＞0，b＞0
∴
∴a2+b2＞ab．…（5分）
（2）证明：ab+≥4⇔4a2b2-17ab+4≥0
⇔（4ab-1）（ ab-4）≥0．
∵ab=（）2≤=，
∴4ab≤1，
而又∵a+b=1
∴ab≤＜4，
因此（4ab-1）（ab-4）≥0成立，故ab+≥4．…（12分）