Question

已知sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．（-1＜m＜1 ）
（1）求tanθ的值；
（2）若m=，求sin²θ-sinθcosθ+2的值．

Answer

（1）先将已知两边平方，得sinθcosθ＜0，故sinθ＞0，cosθ＜0，再通过平方法求sinθ-cosθ，与已知联立即可解得sinθ，cosθ，最后由同角三角函数基本关系式可得tanθ=
（2）若m=，则由（1）可得tanθ=-，然后将所求三角函数式化为二次齐次分式，分子分母同除以cos2θ，最后将tanθ=-代入计算即可
【解析】
∵sinθ+cosθ=m，θ∈（0，π）．①
∴（sinθ+cosθ）2=m2，即1+2sinθcosθ=m2，
∴2sinθcosθ=m2-1＜0，
∴cosθ＜0，sinθ＞0，
∴sinθ-cosθ==，②
由①、②，得：sinθ=，cosθ=，
∴tanθ=．
（2）∵m=∴tanθ=-．
sin2θ-sinθcosθ+2=
==．