Question

已知数列{a_n}前n项和S_n满足a_n=2-2S_n．
（I）求a₁，a₂；
（II）求通项公式a_n；
（III）求证数列{S_n-1}为等比数列．

Answer

（I）在an=2-2Sn，取n=1 求出a1．再令n=2，化简计算即可求出a2．
（II）利用数列中an与 Sn关系 解决．
（III）由已知，当n≥2时，2-2Sn=an=Sn-Sn-1  即3Sn=2+Sn-1，变形构造可以得出3（Sn-1）=Sn-1-1，问题易解．
【解析】
（I） 在an=2-2Sn
取n=1，则a1=2-2S1=2-2a1∴a1=
取n=2，则a2=2-2S2=2-2（a1+a2）=2-2（+a2）∴a2=．（2分）
（II）∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1
∴an-an-1=（2-2Sn）-（2-2Sn-1）=-2（Sn-Sn-1）=-2an
∴an=an-1，n≥2   又a1=
∴an≠0，n∈N*
∴=
∴{an}为等比数列，且公比为
∴an=×（）n-1=，n∈N*．（4分）
（III）  当n≥2时，2-2Sn=an=Sn-Sn-1  即：3Sn=2+Sn-1
∴3（Sn-1）=Sn-1-1  又S1-1=a1-1=-≠0
∴Sn-1≠0，n∈N*
∴=为常数
∴数列{Sn-1}为等比数列．（7分）