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已知函数f(x)=ex-mx, (1)当m=1时,求函数f(x)的最小值: (2...

已知函数f(x)=ex-mx,
(1)当m=1时,求函数f(x)的最小值:
(2)若函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点,求m的取值范围.
(1)当m=1时,f′(x)=ex-1,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,由此能求出当m=1时,函数f(x)的最小值. (2)由g(x)=f(x)-lnx+x2=0,得m=,令,由此能求出函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围. 【解析】 (1)当m=1时,f(x)=ex-x, ∴f′(x)=ex-1, 当x<0时,f′(x)<0, 当x>0时,f′(x)>0, ∴f(x)min=f(x)=1. (2)由g(x)=f(x)-lnx+x2=0, 得m=, 令, 则, 观察得x=1时,h′(x)=0. 当x>1时,h′(x)>0, 当0<x<1时,h′(x)<0, ∴h(x)min=h(1)=e+1, ∴函数g(x)=f(x)-lnx+x2存在两个零点时m的取值范围是(e+1,+∞).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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