Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{a_n}的通项公式；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．证明：对于任意m，n∈N^*，若m＞n，则f＞f．

Answer

（I）直接 令x=1，y=0，再结合f（1）=，即可求出f（0）的值；最后令x=0，即可得到函数f（x）为偶函数；
（II）先令x=y=1，求出f（2），进而求出a1，再令x=n+1，y=1得到f（n+2）=f（n+1）-f（n），即可求出数列{an}相邻两项之间的关系，找到其规律即可求{an}的通项公式；
（III）先利用y≠0时，f（y）＞2，得到f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y），即f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]，再对其一步步向前放缩即可证明结论．
【解析】
（I） 令x=1，y=0
∴f（1）•f（0）=f（1）+f（1）
∵f（1）=，
∴f（0）=2（1分）
令x=0，
∴f（0）f（y）=f（y）+f（-y）即2f（y）=f（y）+f（-y）
∴f（y）=f（-y），对任意的实数y总成立．
∴f（x）为偶函数              （3分）
（II）令x=y=1，得 f（1）f（1）=f（2）+f（0）．
∴=f（2）+2．
∴f（2）=．
∴a1=2f（2）-f（1）==6（4分）
令x=n+1，y=1，得f（n+1）f（1）=f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）=f（n+1）-f（n）（5分）
∴{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列，
所以an=6•2n-1=3•2n（7分）
（III）证明：设y≠0，∵y≠0时，f（y）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（x），即f（x+y）-f（x）＞f（x）-f（x-y）．
∴对于k∈N，总有f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]成立．
∴f[（k+1）y]-f（ky）＞f（ky）-f[（k-1）y]＞f[（k-1）y]-f[（k-2）y]＞…＞f（y）-f（0）＞0
∴对于k∈N总有f[（k+1）y]＞f（ky）成立．（11分）