Question

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

Answer

（Ⅰ）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，可得△an-an=2n，即可得an+1-2an=2n，构造可得，结合等差数列的通项可求，进而可求
（Ⅱ）由b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，可得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．由组合数的性质kCnk=nCn-1k-1，可知Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（Cn-1+…+Cn-1n-1），从而可求bn
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 Tn=，利用错位相减可求Tn=6-＜6又Tn=，，利用单调性的定义可知Tn+1-Tn＞0，{Tn}是递增数列，且T6=6-＞5，从而可求m
【解析】
（Ⅰ）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴，---------------（2分）
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴an=n•2n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，
∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．
∵kCnk=nCn-1k-1，

∴bn=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得  
Tn=，①
  ，②
①-②得 ，
∴Tn=6-＜6，----------（10分）
又Tn=，
∴Tn+1-Tn＞0，
∴{Tn}是递增数列，且T6=6-＞5，
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）