Question

一条斜率为1的直线ℓ与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线ℓ与y轴交于点R，且，，求直线与双曲线方程．

Answer

由离心率化简双曲线方程，设出直线ℓ方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系，代入2个关于向量的等式求待定系数．
【解析】
∵双曲线的离心率为，b2=2a2，
∴双曲线方程即：-=1，设直线ℓ方程：y=x+k，点R（0，k）
代入双曲线方程得：x2-2kx-k2-2a2=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），
则x1+x2=2k，则x1•x2=-k2-2a2，
∵，∴（x1，y1）•（x2，y2）=x1•x2+（x1+k）（x2+k）=2x1•x2+k（x1+x2）+k2
=2（-k2-2a2）+k•2k+k2=k2-4a2=-3      ①，
∵，
∴（x2-x1，x2-x1）=4（x2-0，x2+k-k），∴x1=-3x2②
把②代入根与系数的关系得：x1=3k，x2=-k，k2=a2，
再由①得：a=1，k=±1，
∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0，
双曲线的方程：x2-=1．