Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象与直线y=b（-1＜b＜0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4．
（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=f（2x）+f（x），求函数g（x）的值域．

Answer

（1）根据函数的图象与横轴的三个交点，做出函数的解析式，根据函数的对称性看出函数的一个点的坐标，代入函数的解析式，求出初相的值，写出函数的解析式，根据正弦函数的解析式写出函数的单调区间．
（2）根据上一问做出的函数的解析式，写出函数g（x）的解析式，对三角函数式进行化简整理，得到关于余弦的二次函数，根据二次函数的最值的求法得到结果．
【解析】
（1）依题意得，周期T=4-1=3，所以，
由对称性知，当=时，函数取得最小值-1，
∴
所以，
所以，所以．
∵y=sinx的单调减区间是[2kπ+，2kπ+]
∴
∴
∴
所以函数f（x）的单调减区间是Z．
（2）由（1）知，
所以，
令，则根据余弦函数的值域得到t∈[-1，1]，
所以，
当t=-时，函数取得最小值-，当t=1时，函数取得最大值2，
所以g（x）的值域为．