Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足
a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求a_n表达式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer

（1）根据题中已知条件化简可得出Sn与Sn-1的关系，再求出S1 的值即可证明{}是等差数列；
（2）根据（1）中求得的Sn与Sn-1的关系先求出数列{}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时an的表达式；
（3）根据（2）中求得的an的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b22+b32+…+bn2中，利用缩放法即可证明b22+b32+…+bn2＜1．
解（1）∵-an=2SnSn-1，
∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2）
Sn≠0，∴-=2，又==2，
∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）=2+（n-1）2=2n，
∴Sn=
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-
n=1时，a1=S1=，
∴an=；

（3）由（2）知bn=2（1-n）an=
∴b22+b32+…+bn2=++…+＜++…+
=（1-）+（-）+…+（-）=1-＜1．