Question

定义在R上的单调递减函数y=f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），且对于任意x，y∈R，不等f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0恒成立，则当x≥1时，的取值范围为    ．

Answer

先根据函数f（x）的性质化简不等式f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0，得到关于x，y的约束条件，画出约束条件 的可行域，然后分析 的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．
【解析】
∵f（1-x）=-f（1+x），
∴f（2-x）=-f（x），
又∵f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0
∴f（x2-2x）≥-f（y2-2y）
∴f（x2-2x）≥f（2-y2+2y）
∵定义在R上的单调递减函数y=f（x）
∴x2-2x≤2-y2+2y
即（x-1）2+（y-1）2≤4，表示一个圆，又x≥1
如下图所示：
又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x=1，y=3时，有最大值 3；
当x=1，y=-1时，有最小值-1
故答案为：[-1，3]