Question

如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE=，连接DE交BC于点F，AC=4，BC=3．
求证：（1）△ABC∽△EDC；   （2）DF=EF．

Answer

（1）直接根据CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线求出CD的长，再根据=，∠ACB=∠DCE=90°即可证明结论；（2）先根据第一问的结论得到∠B=∠CDE，∠E=∠A；再根据CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得到CD=AD=DB⇒∠B=∠DCB，∠A=∠CDA即可求出DF=CF；最后根据：∠CDA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；得到CF=EF即可证明结论．
证明：（1）∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线
∴CD=AB==．
∴=，∠ACB=∠DCE=90°．
∴△ABC∽△EDC．
（2）因为△ABC∽△EDC
∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．
由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得：CD=AD=DB⇒∠B=∠DCB，∠A=∠DCA
∴∠DCB=∠CDE⇒DF=CF；
又因为：∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；
∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E
∴CF=EF．
∴DF=EF．