(1)在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标,由数量公式即可求出两线夹角的余弦值.
(2)在平面中找出两条相交直线来,求出它们的方向向量,研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件.
(3)两个平面一个平面的法向量已知,利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量,然后根据求求二面角的规则求出值即可.
【解析】
(1)如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得D(0,2,0),
F(1,2,1),A1(0,0,4),E(1,,0).
(1)易得=(0,,1),
=(0,2,-4).
于是cos<,>==.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明:连接ED,易知=(1,2,1),=(-1,,4),=(-1,,0),
于是=0,=0.
因此,AF⊥EA1,AF⊥ED.
又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的一个法向量为u=(x,y,z),则
即
不妨令x=1,可得u=(1,2,-1).
由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量.
于是cos<u,>==,从而sin<u,>=.
二面角A1-ED-F的正弦值是