Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc
再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．
【解析】
（Ⅰ）设
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R
∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a2=b2+c2+bc
∵由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA
故cosA=-，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°-B）
=cosB+sinB
=sin（60°+B）
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．