Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=-2na_n+2n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer

（Ⅰ）求出a1，然后利用an=Sn-Sn-1得到an与an-1的关系，化简为数列{an-1}中任意相邻两项之间的关系，通过等比数列的定义证明数列是等比数列；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出数列的通项公式，结合cn=-2nan+2n，求出数列{cn}的前n项和为Tn的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可求证：Tn＜4．
【解析】
（Ⅰ）∵n=1时，S1=1-a1，即a1=1-a1，a1=．
∵Sn=n-an，∴Sn-1=n-1-an-1，n＞1．
两式相减，得an=an-1+．…（3分）
an-1=（an-1-1）．
从而{an-1}为等比数列，首项a1-1=-，公比为．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=．从而an=．…（8分）
∵cn=-2nan+2n，∴=，
∴．…（10分）
从而，
两式相减，得．
-=．
∴Tn＜4．…（13分）