Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer

（1）先把函数化为y=Asin（ωx+∅）的形式，则周期T=，最大值为，再与所给函数的周期，最大值比较，就可得到两个含a，b，ω的等式，根据再得到一个含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中得到的函数f（x）的解析式，先化简为y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一个整体，就可借助基本正弦函数的单调性，对称轴，对称中心，求出f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程．
（2）利用函数的平移，伸缩变换，把函数y=2sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的，即得的图象．
【解析】
（1）f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=，
∴T==π，∴ω=2
∵，∴asin+bcos=，即a=
∵f（x）的最大值为2，∴=2，解得，b=1
∴
（2）由（1）得，=2sin（2x+）
令，k∈Z，解得，
∴函数的单调递增区间；
令2x+=kπ，k∈Z，解得，x=
∴函数的对称中心为；
令2x+=kπ+，k∈Z，解得，
对称轴方程为
（3）的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的，即得的图象．