Question

已知命题p：∀x∈[1，2]，是真命题，命题q：∃x∈R，x²+2ax-8-6a≤0 是假命题，则实数的取值范围是    ．

Answer

命题p：∀x∈[1，2]，是真命题时，等价于∀x∈[1，2]，时恒成立，进一步可求左边函数的最小值即可；命题q：根据一元二次不等式的解法，我们先求出∃x∈R，使得x2+（a+2）x+1＜0是真命题时，实数a的取值范围，再利用补集的求法，即可得到命题q：∃x∈R，使得x2+（a+2）x+1＜0是假命题，实数a的取值范围．综上可得结论．
【解析】
由题意，命题p：∀x∈[1，2]，是真命题时，
∴∀x∈[1，2]，时恒成立，
令，∴y′=ex-x，
∴∀x∈[1，2]，y′＞0
∴x=1时，，
∴；
因为命题q：∃x∈R，x2+2ax-8-6a≤0为真命题，
∴△=4a2+24a+32≥0，
即（a+4）（a+2）≥0，
 即a≤-4，或a≥-2
∴命题q：∃x∈R，x2+2ax-8-6a≤0”是假命题时，a的取值范围是[-4，-2]
综上知，实数的取值范围是[-4，-2]，
 故答案为：[-4，-2]