Question

若不等式4^x-a2^x+1+a²-1≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为    ．

Answer

设2x=t，用换元法把4x-a2x+1+a2-1≥0化成t2-2at+a2-1≥0，转化为求二次函数的恒成立问题，即可求出答案．
【解析】
设2x=t，∵1≤x≤2，则2≤t≤4，
原式可化为：t2-2at+a2-1≥0，令f（t）=t2-2at+a2-1=（t-a）2-1，
①当a≤2时，y在[2，4]上为增函数，
故当t=2时，y取最小值f（2），
要使t2-2at+a2-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（2）≥0即可，
∴a≤1，
②当a≥4时，y在[2，4]上为减函数，
故当t=4时，y取最小值f（4），
要使t2-2at+a2-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（4）≥0即可，
∴a≥5，
③当2＜a＜4时，y在[2，a]上为减函数，在[a，4]上为增函数
故当t=a时，y取最小值f（a），
要使t2-2at+a2-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（a）≥0即可，
∴a∈∅，
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1]∪[5，+∞）
故答案为：（-∞，1]∪[5，+∞）．