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manfen5.com 满分网长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.
(1)连接AC,根据余弦定理求得cos∠ABC的值,进而求得∠ABC,然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积,二者相加即可求得四边形ABCD的面积,在△ABC中,由余弦定理求得AC,进而利用正弦定理求得外接圆的半径. (2)设AP=x,CP=y.根据余弦定理求得x和y的关系式,进而根据均值不等式求得xy的最大值,进而求得△APC的面积的最大值,与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值. 【解析】 (1)因为四边形ABCD内接于圆, 所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理: AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC =42+22-2×2×4cos∠ADC、 所以cos∠ABC=,∵∠ABC∈(0,π), 故∠ABC=60°. S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120° =8(万平方米). 在△ABC中,由余弦定理: AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC =16+36-2×4×6×. AC=2. 由正弦定理==2R, ∴2R===, ∴R=(万米). (2)∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC, 又S△ADC=AD•CD•sin120°=2, 设AP=x,CP=y. 则S△APC=xy•sin60°=xy. 又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy=28. ∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号 ∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9, ∴最大面积为9万平方米.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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