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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA=AB=AD=a,,...

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA=AB=AD=a,manfen5.com 满分网,点E为PB的中点,点F为PC的中点.
(Ⅰ)求证:PD∥面EAC;
(Ⅱ)求证:面PBD⊥面PAC;
(Ⅲ)在线段BD上是否存在一点H满足FH∥面EAC?若存在,请指出点H的具体位置,若不存在,请说明理由.

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(I)设AC,BD相交于O,连接OE,由平行四边形的性质及三角形中位线定理,我们易得PD∥OE,再由线面平行的判定定理即可得到答案. (II)由已知中PA=AB=AD=a,,我们根据勾股定理,可得PA⊥AD,PA⊥AD,由线面垂直的判定定理,可得PA⊥面ABCD,进而可得PA⊥BD,再由菱形的对角线互相垂直,即BD⊥AC,结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,即可得到答案. (III)取OD的中点H,根据已知我们可根据平行线分线段成比例定理得到OG∥FH,进而根据线面平行的判定定理,得到FH∥面EAC,进而得到结论. 【解析】 (Ⅰ) 设AC,BD相交于O,连接OE, ∵O分别为PB,PD的中点, ∴PD∥OE∴PD∥面EAC…(4分) (Ⅱ)∵,同理PA⊥AD ∴PA⊥面ABCD…(6分) ∴PA⊥BD, ∵ABCD为菱形 ∴BD⊥AC ∴BD⊥面PAC ∴面PBD⊥面PAC…(8分) (Ⅲ)取OD的中点H ∴∥FH ∴FH∥面EAC ∴在线段BD上存在一点H满足FH∥面EAC,H为OD的中点.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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