Question

（文）一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．
（1）判断f₁（x）=，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（2）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“三角形函数”；
（3）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A），当A＞时，F（x）不是“三角形函数”．

Answer

（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边；
（2）要想一个函数不是“三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例；
（3）当 ，取 ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 不能作为任何一个三角形的三边长，最后给出结论．
【解析】
（1）f1（x），f2（x）是“三角形函数”，f3（x）不是“三角形函数”．
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
由于 ，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．
对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．
（2）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整数 ，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
故g（x）不是“三角形函数”．
（3）当 ，
取 ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
但 不能作为任何一个三角形的三边长，
故F（x）不是“三角形函数”．