Question

有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池．
（Ⅰ）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V（x），并求函数V（x）的定义域；
（Ⅱ）指出函数V（x）的单调区间；
（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？

Answer

（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x，则蓄水池的容积为：V（x）=x（6-2x）2．由此能写出以x为自变量的容积V的函数解析式V（x），并求出函数V（x）的定义域；
（Ⅱ）由V（x）=x（6-2x）2=4x3-24x2+36x得V'（x）=12x2-48x+36．由此能求出函数V（x）的单调区间；
（Ⅲ）令V'（x）=12x2-48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．由此能求出蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大和最大容积是多少．
【解析】
（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a，
则a=6-2x，
则蓄水池的容积为：V（x）=x（6-2x）2．
由，
得函数V（x）的定义域为x∈（0，3）．（4分）
（Ⅱ）由V（x）=x（6-2x）2=4x3-24x2+36x，
得V'（x）=12x2-48x+36．
令V'（x）=12x2-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V'（x）=12x2-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函数V（x）的定义域为x∈（0，3），
∴函数V（x）的单调增区间是：（0，1）；函数V（x）的单调减区间是：（1，3）．
（Ⅲ）令V'（x）=12x2-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．
故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16m3．（12分）