Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=BC=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M．
（2）求A₁B与CB₁所成角的余弦值．
（3）求点M到平面BNC的距离．

Answer

（1）要证C1M⊥A1B，可先证C1M⊥平面AA1B1B，只需利用平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，C1M⊥A1B1从而利用面面垂直的性质可得
（2）利用平行线，可得∠CB1E为A1B与CB1所成角或其补角，解△EB1C，即可求出异面直线A1B与B1 C所成角的余弦值．
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A1B的距离为h1，利用VM-NBC=VC-MNB，转换底面，即可求解．
【解析】
（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中△ABC≌△A1B1C1，∴A1C1=B1C1
∵A1M=B1M∴C1M⊥A1B1…..（2分）
又∵在直三棱柱中平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，平面AA1B1B∩平面A1B1C1=A1B1
∴C1M⊥平面AA1B1B
∴C1M⊥A1B…..（4分）
（2）延长AB至E，使BE=AB，连CE、B1E
∵A1B1BE，∴A1B1EB为平行四边形，∴A1BB1E
∴∠CB1E为A1B与CB1所成角或其补角…（6分）
在△EBC中CE2=CB2+BE2-2CB•BEcos∠CBE=1+2-2×1××（）=5
在△EB1C中CB1=，B1E=A1B=，cos∠CB1E===
∴A1B与CB1所成角的余弦值为…．…（8分）
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A1B的距离为h1
∵VM-NBC=VC-MNB，∴S△BNC×h=S△BNM×h1…．（10分）
∵CC1∥平面A1B，∴点C到平面A1B的距离h1等于C1M…．（11分）
∴NC×BC×h=[AB×AA1-（A1M×A1N+AN×AB+BB1×B1M）]×C1M
∴××1×h=[×2-（×1+1×+2×）]×
∴点M到平面BNC的距离h=…..…．（14分）