Question

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（I）求函数f（x）；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）设f（x）=a（x-1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），，由 ，由此得到f（x）．
（II）由（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0，知（an-1）（4an+1-3an-1）=0∵a1=2，所以an≠1，4an+1-3an-1=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（III）先表示出数列{bn}的通项，再用错位相减法求和．
【解析】
（I）设f（x）=a（x-1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），…（2分）
∵∴a=1，f（x）=（x-1）2…（4分）
（II）∵（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0∴（an-1）（4an+1-3an-1）=0…（5分）
∵a1=2，∴an≠1，4an+1-3an-1=0…（6分）
∴an+1-1=-1=1
数列{an-1}是首项为1，公比为的等比数列…（8分）
∴+1…（9分）

∴

=