Question

不等式组所表示的平面区域为D_n，若D_n内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a_n（n∈N^*）
（1）写出a_n+1与a_n的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列a_n的前n项和为S_n且，若对一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求m的范围．

Answer

（1）不等式组所表示的平面区域Dn的整点个数归纳可得an+1-an=10；
（2）根据{an}是首项为15，公差为10的等差数列，从而求出数列{an}的通项公式；
（3）求出数列{an}的前n项和Sn，则=，然后Tn+1-Tn的符号可得T2=2是最大值，从而求出m的取值范围．
【解析】
（1）不等式组（n∈N*）所表示的平面区域Dn的整点个数
∴an+1-an=10即{an}为等差数列
（2）∵{an}是首项为15，公差为10的等差数列
∴an=15+（n-1）×10=10n+5
（3）Sn==5n2+10n
∴=
∴Tn+1-Tn=-=
当n≥2时，Tn+1-Tn＜0
即Tn≤T2=2≤m
∴m的取值范围为m≥2．