Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）证明{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）已知T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，求T_n．

Answer

（1）由an=Sn-1+2可得an+1=Sn+2，当n≥2时，an+1-an=Sn-Sn-1=an，结合=2a1可得an+1=2an对应任意的n≥1都成立；
（2）由Tn=1×2+2×4+3×8+…+n•2n考虑利用错位相减可求答案．
【解析】
（1）∵an=Sn-1+2（n≥2）
∴an+1=Sn+2
当n≥2时，an+1-an=Sn-Sn-1=an
∴an+1=2an
∵a2=S1+2=4=2a1
∴an+1=2an对应任意的n≥1都成立
∴数列为等比数列首项为2公比为2，an=2n
（2）∵Tn=a1+2a2+…+nan
∴Tn=1×2+2×4+3×8+…+n•2n
∴2Tn=1×4+2×8+…+n•2n+1
两式相减可得，-Tn=2+4+8+…+2n-n•2n+1=
∴Tn=（n-2）•2n+1+2