(1)由线在点Pn的切线与直线AAn平行,知,由xn+1=tf(xn+1-1)+1,得xn+1-1=t(xn-1)2,由此能够证明{logt(xn-1)+1}是等比数列.
(2)由logt(xn-1)+1=(logt2+1)•2n-1,得.从而,由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立,得an+1<an,由此能求出t的取值范围.
(3)当时,,所以,由此能够比较比较Sn与n+7的大小.
【解析】
(1)∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行,
∴,即,
由xn+1=tf(xn+1-1)+1,得xn+1-1=t(xn-1)2,
∴logt(xn+1-1)=1+2logt(xn-1),
即logt(xn+1-1)+1=2[logt(xn-1)+1],
∴{logt(xn-1)+1}是首项为logt2+1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得logt(xn-1)+1=(logt2+1)•2n-1,
∴.
从而,
由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立,
得an+1<an,
即,
∴0<2t<1,
即.
(3)当时,,
∴,
当n≤3时,2n-1≤n+1;
当n≥4时,2n-1>n+1,
∴当n≤3时,<n+7.
当n≥4时,Sn<
=
<n+7.
综上所述,对任意的n∈N*,都有Sn<n+7.