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已知曲线C:f(x)=x2,C上的点A,An的横坐标分别为1和an(n∈N*),...

已知曲线C:f(x)=x2,C上的点A,An的横坐标分别为1和an(n∈N*),且a1=5,数列{xn}满足manfen5.com 满分网,设区间Dn=[1,an](an>1),当x∈Dn时,曲线C上存在点Pn(xn,f(xn)),使得点Pn处的切线与直线AAn平行.
(1)证明:{logt(xn-1)+1}是等比数列;
(2)当Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{an}的前n项和为Sn,当manfen5.com 满分网时,试比较Sn与n+7的大小,并证明你的结论.
(1)由线在点Pn的切线与直线AAn平行,知,由xn+1=tf(xn+1-1)+1,得xn+1-1=t(xn-1)2,由此能够证明{logt(xn-1)+1}是等比数列. (2)由logt(xn-1)+1=(logt2+1)•2n-1,得.从而,由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立,得an+1<an,由此能求出t的取值范围. (3)当时,,所以,由此能够比较比较Sn与n+7的大小. 【解析】 (1)∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行, ∴,即, 由xn+1=tf(xn+1-1)+1,得xn+1-1=t(xn-1)2, ∴logt(xn+1-1)=1+2logt(xn-1), 即logt(xn+1-1)+1=2[logt(xn-1)+1], ∴{logt(xn-1)+1}是首项为logt2+1,公比为2的等比数列. (2)由(1)得logt(xn-1)+1=(logt2+1)•2n-1, ∴. 从而, 由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立, 得an+1<an, 即, ∴0<2t<1, 即. (3)当时,, ∴, 当n≤3时,2n-1≤n+1; 当n≥4时,2n-1>n+1, ∴当n≤3时,<n+7. 当n≥4时,Sn< = <n+7. 综上所述,对任意的n∈N*,都有Sn<n+7.
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考点分析:
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  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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