Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x²+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．

Answer

（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）设x1＞x2，由已知得出f（x1-x2+x2）=f（x1-x2 ）•f（x2），且能得出0＜f（x1-x2）＜1，确定出f（x1）＜f（x2）后即可判断出函数f（x）在R上单调递减．
 （3）由（2），不等式化为x2+2＞ax，利用分离参数的方法得出即对x∈[1，4]恒成立，   求出在[1，4]上的最小值后便可求出a的取值范围．
【解析】
（1）令m=1，n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）设x＜0则-x＞0∴0＜f（-x）＜1而∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0
设x1＞x2则  x1-x2＞0，∴0＜f（x1-x2）＜1
于是，∴f（x1）＜f（x2）
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（x）在R上单调递减∴f（x2+2）＜f（ax）⇔x2+2＞ax
则不等式x2-ax+2＞0对x∈[1，4]恒成立  即对x∈[1，4]恒成立∴而在[1，4]上的最小值为
所以，．