Question

在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是SB，SC的中点．若面AMN⊥面SBC，则二面角S-BC-A的平面角的余弦值为    ．

Answer

如图，设D为BC中点，则 SD⊥BC，AD⊥SD，∠SDA二面角S-BC-A的平面角． 设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a=，在△SAD中，由余弦定理求出∠SDA 的余弦值．
【解析】
设D为BC中点，则 SD⊥BC，SD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面SBC，则 SE⊥面AMN，SE⊥AE．
又AD⊥SD，∴∠SDA二面角S-BC-A的平面角
设底面边长为2，侧棱长为a，在△SBC中，SD2=a2-1，SE2=SD2=，ME=MN=．
在△SAB中，由余弦定理，cos∠ASB==，代入数据化简得=，AM2=，
在△SAE中，由勾股定理，得出 SA2=AE2+SE2=AM2-ME2+E2，即a2=-+，解得a2=3，a=
在△SAD中，由余弦定理，cos∠SDA===
故答案为：．