Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C₁，
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且，试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；
（3）已知圆C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，求a的值．

Answer

（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ 得到∴，从而得解．
（2）先求直线PB的方程，再代入x2=2y得x2-2xx+2y=0，利用△=4x2-8y=0，可得直线PB与曲线C1相切．
（3）分别求出在C1上N点处切线的斜率为，C2上过N点的半径的斜率，利用C1、C2在交点处的切线相互垂直，可建立方程，再利用点在圆上可解，
【解析】
（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），
∵⊥∴…（2分）
∴x2-2y=0，
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．
（2）设点P的坐标（x，y），∴A（x，0）∵∴
∵∴直线PB的斜率…（5分）
∵x2=2y∴k=x∴直线PB的方程为y=xx-y…（6分）
代入x2=2y得x2-2xx+2y=0，∵△=4x2-8y=0
∴直线PB与曲线C1相切．…（7分）
（3）不妨设C1、C2的一个交点为N（x1，y1），C1的方程为
则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1．C2上过N点的半径的斜率为
，
又，得y1=-a，x12=-2a…（10分）
∵N（x1，y1）在圆C2上，∴-2a+4a2=2，∴或a=1
∵y1＞0∴a＜0，∴…（12分）