Question

已知三角形△ABC三内角满足A、B、C成等差数列，tanAtanC=2+，又顶点C对边c上的高等于4，求三角形三边a、b、c的长．

Answer

由A，B及C成等差数列，利用等差数列的性质得到A+C=2B，再利用三角形的内角和定理求出B的度数，进而得到A+C的度数，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+C），根据A+C的度数，利用特殊角的三角函数值求出tan（A+C）的值，把已知的tanAtanC的值代入，求出tanA+tanC的值，根据韦达定理得到关于tanA和tanC的方程，求出方程的解得到tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出A和C的度数，进而得到B的度数，由c边上的高，利用正弦定理求出a及b的值，再由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解析】
由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，…（2分）
∴=-，又tanAtanC=2+，
∴tanA+tanC=3+，…（4分）
∴tanA，tanC为二次方程x2-（3+）x+2=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+或tanC=2+，tanC=1，
∴A=45°，C=75°或A=75°，C=45°，…（8分）
①若A=45°，C=75°，则B=60°，
根据正弦定理=，=，=，
则；…（10分）
②若A=75°，C=45°，则B=60°，同理可得：
a=8，b=4（3-），c=8（-1）．…（12分）