Question

已知函数f（x）=，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

Answer

（1）先验证f（-1）=-f（1），可知此函数为奇函数，再用奇函数的定义证明即可，奇函数定义：如果对∀x∈D，f（-x）=-f（x）则函数f（x）为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义证明即可，但一定注意f（x1）-f（x2）符号的判断．
【解析】
由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对∀x∈R
有
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x1，x2∈R，设x1＜x2
则==
∵x1＜x2且f（x）=2x为增函数，
∴
又∵
∴f（x1）-f（x2）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．