Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax
（1）若x=时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导函数，根据若时，f（x）取得极值得f′（）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；
【解析】
，
（1）因为 时，f（x）取得极值，所以 ，
即2+1+a=0，故a=-3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2-8，
①当△≤0，即 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
②当△＞0，即 或 时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x2+ax+1，
由 得a＞0，所以 ．
由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是 ．