Question

曲线（4x-3y）（x-2y）=0与圆（x-3）²+（y-4）²=r²恰有三个交点A、B、C，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．或20
D．或20

Answer

曲线（4x-3y）（x-2y）=0是两条直线：4x-3y=0和x-2y=0．圆心过4x-3y=0．故其中有两点在直线4x-3y=0上，另外一个点g一是过圆心是和x-2y=0的垂直的直线与x-2y=0的交点．二是圆过直线4x-3y=0和x-2y=0的交点A（0，0），第三点是直线x-2y=0与圆的另外一个交点C．由此能求出△ABC的面积．
【解析】
曲线（4x-3y）（x-2y）=0是两条直线：4x-3y=0和x-2y=0．
圆心过4x-3y=0．
故其中有两点在直线4x-3y=0上，
另外一个点有两种情况：
一种情况是过圆心是和x-2y=0的垂直的直线与x-2y=0的交点．
设过圆心与x-2y=0垂直的直线为2x+y+c=0，
把圆心（3，4）代入，得c=-10．
解方程组，
由此得出：圆心O（3，4）到直线x-2y=0的垂足为P（4，2）
垂足即为第三点．
圆半径r=|OP|=，
点（4，2）到直线4x-3y=0的距离，
所以．
另一种情况是圆过直线4x-3y=0和x-2y=0的交点A（0，0），第三点是直线x-2y=0与圆的另外一个交点C．
此时圆径为r=5，圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=25，
直线4x-3y=0与圆（x-3）2+（y-4）2=25的另一个交点是B（6，8），
B（6，8）到直线x-2y=0的距离BC=，AC=，
．
故选C．